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Technique XY-Chain : Raisonnement en chaîne avec des cellules à deux valeurs

2025-06-05 · 10 min de lecture

XY-Chain est une méthode de raisonnement en chaîne puissante parmi les techniques avancées du Sudoku. C'est une extension de XY-Wing, utilisant des structures de chaîne formées par plusieurs cellules bivalentes (cellules avec seulement deux candidats) pour l'élimination de candidats.

         Principe fondamental :

        Une XY-Chain consiste en une série de cellules bivalentes où les cellules adjacentes partagent un candidat. Le début et la fin de la chaîne ont chacun un candidat non partagé. Si ces deux nombres sont identiques (appelés Z), alors les cellules qui peuvent voir à la fois le début et la fin de la chaîne peuvent éliminer le candidat Z. En effet : en suivant la logique de la chaîne, Z doit apparaître soit au début soit à la fin de la chaîne.

Principe XY-Chain : Début{Z,A} et Fin{C,Z} partagent le candidat Z, Z doit être au Début ou à la Fin, éliminer Z de la zone commune visible

Avant de lire cet article, il est recommandé de comprendre les conventions de nommage du Sudoku, les Paires nues et les bases de XY-Wing.

Structure de XY-Chain

XY-Chain contient les éléments clés suivants :

Nœuds de chaîne : Chaque nœud est une cellule bivalente {A,B}
Liens de chaîne : Les nœuds adjacents doivent se « voir » (même ligne, colonne ou bloc) et partager un candidat
Début et fin de chaîne : Chacun a un candidat non partagé avec son nœud adjacent
Condition d'élimination : Lorsque les candidats non partagés du début et de la fin sont identiques, l'élimination est possible

Notation de chaîne : A(x,y) → B(y,z) → C(z,w) → ... où les parenthèses contiennent les candidats, les flèches montrent la direction de la chaîne, et les nœuds adjacents partagent un nombre (comme y, z).

Pourquoi XY-Chain fonctionne-t-elle ?

1 Propagation en chaîne : Supposons que la chaîne soit A{X,Y} → B{Y,Z} → C{Z,W}. Si A=X, alors B doit =Z (car B ne peut pas =Y), puis C doit =W (car C ne peut pas =Z).

2 Deux possibilités : Le début de chaîne a deux candidats {P,Q}, où Q est partagé avec le nœud suivant. Si début = P, le raisonnement s'arrête ; si début = Q, la logique se propage le long de la chaîne jusqu'à la fin.

3 Conclusion clé : Si le nombre non partagé P du début de chaîne est égal au nombre non partagé de la fin, alors P doit apparaître soit au début soit à la fin de la chaîne.

4 Cible d'élimination : Les cellules qui peuvent voir à la fois le début et la fin de la chaîne ne peuvent pas contenir P (car P doit être au début ou à la fin).

Exemple 1 : XY-Chain à 4 nœuds

Examinons un exemple simple de XY-Chain à 4 nœuds.

Figure 1 : XY-Chain R2C2{3,7} → R2C6{3,5} → R9C6{2,5} → R9C7{2,7}, peut éliminer 7 de R2C7

Ouvrir cet exemple dans le solveur

Processus d'analyse

1 Identifier les nœuds de chaîne :

R2C2 : candidats {3, 7} (début de chaîne)
R2C6 : candidats {3, 5}
R9C6 : candidats {2, 5}
R9C7 : candidats {2, 7} (fin de chaîne)

2 Vérifier les liens de chaîne :

R2C2 et R2C6 sont dans la même ligne (Ligne 2), partageant le candidat 3
R2C6 et R9C6 sont dans la même colonne (Colonne 6), partageant le candidat 5
R9C6 et R9C7 sont dans la même ligne (Ligne 9), partageant le candidat 2

3 Déterminer le nombre à éliminer :

Nombre non partagé du début R2C2{3,7} = 7 (3 est partagé avec R2C6)
Nombre non partagé de la fin R9C7{2,7} = 7 (2 est partagé avec R9C6)
Ils sont identiques ! Z = 7

4 Processus de raisonnement :

Si R2C2=7 → 7 est au début de chaîne
Si R2C2=3 → R2C6 ne peut pas être 3 → R2C6=5 → R9C6 ne peut pas être 5 → R9C6=2 → R9C7 ne peut pas être 2 → R9C7=7 → 7 est à la fin de chaîne
Dans les deux cas, 7 doit être dans R2C2 ou R9C7

5 Trouver la cible d'élimination : R2C7 peut voir à la fois le début R2C2 (même ligne) et la fin R9C7 (même colonne).

Conclusion :
XY-Chain : R2C2{3,7} → R2C6{3,5} → R9C6{2,5} → R9C7{2,7}
Peut éliminer le candidat 7 de R2C7.

Exemple 2 : Longue chaîne à 10 nœuds

Les XY-Chains peuvent être très longues. Voici un exemple à 10 nœuds démontrant la puissance du raisonnement en chaîne.

Figure 2 : XY-Chain R2C5{1,5} → R2C1{1,5} → R1C1{5,8} → R1C7{7,8} → R3C7{7,8} → R3C2{4,8} → R7C2{4,8} → R8C1{4,8} → R8C7{4,9} → R8C3{5,9}, peut éliminer 5 de R8C5

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Processus d'analyse

1 Identifier les nœuds de chaîne (10 nœuds) :

R2C5 : {1, 5} (début de chaîne)
R2C1 : {1, 5}
R1C1 : {5, 8}
R1C7 : {7, 8}
R3C7 : {7, 8}
R3C2 : {4, 8}
R7C2 : {4, 8}
R8C1 : {4, 8}
R8C7 : {4, 9}
R8C3 : {5, 9} (fin de chaîne)

2 Vérifier les liens de chaîne :

R2C5 → R2C1 : même ligne, partageant 1 (ou 5)
R2C1 → R1C1 : même colonne, partageant 5
R1C1 → R1C7 : même ligne, partageant 8
R1C7 → R3C7 : même colonne, partageant 7 (ou 8)
R3C7 → R3C2 : même ligne, partageant 8
R3C2 → R7C2 : même colonne, partageant 4 (ou 8)
R7C2 → R8C1 : même bloc, partageant 8
R8C1 → R8C7 : même ligne, partageant 4
R8C7 → R8C3 : même ligne, partageant 9

3 Déterminer le nombre à éliminer :

Nombre non partagé du début R2C5{1,5} = 5 (1 est partagé avec R2C1)
Nombre non partagé de la fin R8C3{5,9} = 5 (9 est partagé avec R8C7)
Ils sont identiques ! Z = 5

4 Conclusion du raisonnement : Que le début R2C5 soit 1 ou 5, le candidat 5 doit apparaître soit au début R2C5 soit à la fin R8C3.

5 Trouver la cible d'élimination : R8C5 peut voir à la fois le début R2C5 (même colonne) et la fin R8C3 (même ligne).

Conclusion :
XY-Chain (10 nœuds) : R2C5 → R2C1 → R1C1 → R1C7 → R3C7 → R3C2 → R7C2 → R8C1 → R8C7 → R8C3
Peut éliminer le candidat 5 de R8C5.

Comment trouver les XY-Chains ?

Trouver les XY-Chains nécessite une approche systématique :

1 Marquer les cellules bivalentes : D'abord, identifiez toutes les cellules avec seulement deux candidats.

2 Choisir le point de départ : Sélectionnez une cellule bivalente comme début de chaîne, notez ses deux candidats {P,Q}.

3 Étendre la chaîne : Trouvez des cellules bivalentes qui peuvent « voir » le nœud actuel et partager un candidat comme nœud suivant.

4 Vérifier la condition de terminaison : Après chaque extension, vérifiez si le nombre non partagé de la fin égale le nombre non partagé P du début.

5 Trouver les cibles d'élimination : Trouvez les cellules qui peuvent voir à la fois le début et la fin de la chaîne et contiennent P.

Notes importantes :

Chaque nœud de la chaîne doit être une cellule bivalente
Les nœuds adjacents doivent se voir (même ligne, colonne ou bloc)
Les nœuds adjacents doivent partager un candidat
Condition d'élimination : les candidats non partagés du début et de la fin sont identiques
XY-Wing est un cas spécial de XY-Chain (une chaîne de longueur 3)

Relation entre XY-Chain et XY-Wing

XY-Wing peut être vu comme une XY-Chain de longueur 3 :

XY-Wing : Pivot{X,Y} → Aile1{X,Z} → Aile2{Y,Z}... etc., ce n'est pas réellement une forme de chaîne standard
Relation réelle : La structure XY-Wing est en forme de « Y », tandis que XY-Chain est linéaire
Point commun : Les deux utilisent des cellules bivalentes pour l'élimination logique
Différence : XY-Chain nécessite une connexion en chaîne, XY-Wing nécessite que le pivot voie les deux ailes

Résumé de la technique

Points clés pour appliquer XY-Chain :

Exigence de nœud : Tous les nœuds sont des cellules bivalentes
Exigence de connexion : Les nœuds adjacents peuvent se voir et partagent un candidat
Condition d'élimination : Les candidats non partagés du début et de la fin sont identiques
Cible d'élimination : Le candidat partagé dans les cellules qui peuvent voir à la fois le début et la fin
Longueur de chaîne : Théoriquement illimitée, les chaînes plus longues sont plus difficiles à trouver mais plus puissantes

Pratiquez maintenant :
Commencez une partie de Sudoku et essayez d'utiliser XY-Chain pour l'élimination ! Trouvez d'abord toutes les cellules bivalentes, puis essayez de les connecter en chaîne.

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